断面の性質(断面一次モーメント・断面二次モーメント・断面係数・断面二次半径)ってなに?

同じ断面積をもつ梁に、同じスパンで同じ荷重を作用させた場合でも、

梁の断面を横長にした場合と、縦長にした場合で

曲がり方(中央部のたわみの大きさ)が異なります。

この曲がりやすい、曲がりにくいは、何の影響によるものなのか

説明していきたいと思います。

梁の曲げ剛性

曲げ剛性

梁の曲がりにくさ(=梁の曲げに対する剛性)のことを

梁の曲げ剛性といいます。

梁の曲げ剛性は、はりの材料(ex:やわらかい材料なのか硬い材料なのか)の性質と

梁の断面形状(ex:縦長なのか横長なのか)で決まります。

式で表すと

 \(曲げ剛性=材料の定数(E)\times断面の定数(I)\)

となります。曲げ剛性(\(EI\))が大きいほど、曲がりにくいということになります。

【関連記事】<たわみとは

ヤング係数

ヤング係数とは、ヤング率ともいい材料の硬さを示す材料定数で、

実験などによって求められています。

単位は(\(N/mm^2\))です。

弾性係数、もしくは、縦弾性係数とも呼ばれます。

【関連記事】<ひずみとは><フックの法則(弾性変形)

断面一次モーメント

ある断面積\(A\)を構成する微小断面(\(dA1,dA2,・・・dAn\))に任意の座標軸(\(x軸、y軸\))からの距離をそれぞれ掛けたものを、足し合わせたものです。図で表すと下図になります。

 

図_微小断面と座標軸からの距離

式で表すと、\(x軸\)に関する断面一次モーメントは

 \(Sx=dA_1\times\)\(y\)\(_1+dA_2\times\)\(y\)\(_2+・・・dA_n\times\)\(y\)\(_n\)

   \(=\sum{dA_n\times{y}_n}\)\(=\int{y}\)・\(dA\)

\(y軸\)に関する断面一次モーメントは、

 \(Sy=dA_1\times\)\(x\)\(_1+dA_2\times\)\(x\)\(_2+・・・dA_n\times\)\(x\)\(_n\)

   \(=\sum{dA_n\times{x}_n}\)\(=\int{x}\)・\(dA\)

となります。単位は(\(mm^3\))です。

断面一次モーメントは、断面の図心を求めるときや、

梁のせん断応力度を求めるに必要なファクターです。

図心に関する断面一次モーメントはゼロになります。

図心とは

断面一次モーメントがゼロになる点を図心といいます(禅問答みたいですね)。

断面を一点で支えられることができる点になります。

材料の密度・厚みが均一の場合は、図心が重心になります。

<例題>

下図の図心を求めてみたいと思います。

 

 

CADソフトを使うとワンクリックで求めることができます。

それを言ったら元も子もないので、電卓を使って求めていきましょう。

まず、縦長の長方形を\(A1\)、横長の長方形を\(A2\)として

それぞれ\(0点\)からの断面一次モーメントを算出します。

長方形の図心は、対角線の交点なので、

簡単にそれぞれの図心までの距離は出せますね。

 

 \(Sx_1=x_1\times\)\(A_1=15\times1800=27000mm^3\)

 \(Sx_2=x_2\times\)\(A_2=60\times1200=72000mm^3\)

 \(Sx_0=Sx_1+Sx_2=27000+72000=99000mm^3\)・・・(1)

 \(Sy_1=y_1\times\)\(A_1=30\times1800=81000mm^3\)

 \(Sy_2=y_2\times\)\(A_2=40\times1200=48000mm^3\)

 \(Sy_0=Sy_1+Sy_2=81000+48000=129000mm^3\)・・・(2)

 \(A_0=A_1+A_2=1800+1200=3000mm^2\)・・・(3)

図心の座標を(\(x_0,y_0\))とすると、(1)(2)(3)より

 \(x_0=\Large{\frac{Sx_0}{A_0}}\)\(=\Large{\frac{99000}{3000}}\)\(=33mm\)

 \(y_0=\Large{\frac{Sy_0}{A_0}}\)\(=\Large{\frac{129000}{3000}}\)\(=43mm\)

下図のようになります。

 

最初の方で断面一次モーメントは「足し合わせたもの」と定義しているので

断面一次モーメント同士は、足したり引いたりできます。

断面二次モーメント

 
駆け出し研修生
断面一次モーメントと、断面二次モーメントで何が違うのでしょうか。
 
そのあたりの疑問も解決できるように説明を進めていきたいと思います。

 

図_微小断面と座標軸からの距離
 
駆け出し研修生
断面一次モーメントのときに出た図と全く同じですね。

断面二次モーメントは、ある断面Aを構成する微小断面(\(dA_1,dA_2,\cdots{,dA_n}\))に

任意の座標軸(\(x\)軸・\(y\)軸)からの距離の2乗

それぞれ掛けたものを、足し合わせたものです。

式で表すと、\(x軸\)に関する断面二次モーメントは

 \(I_x=dA_1\times{y_1^2}+dA_2\times{y_2^2+}\cdots{+dA_n}\times{y_n^2}\)

   \(=\sum{dA_n}\times{y_n^2}=\int{y^2}\cdot{dA}\)

同様に、\(y軸\)に関する断面二次モーメントは

 \(I_y=dA_1\times{x_1^2}+dA_2\times{x_2^2}+\cdots{+dA_n}\times{x_n^2}\)

   \(=\sum{dA_n}\times{x_n^2}=\int{x^2}\cdot{dA}\)

となります。単位は(\(mm^4\))です。

 

図_任意の座標軸から図心までの距離

図心外の任意の軸に関する断面二次モーメントは、

 \([図心外の軸に関する断面二次モーメント]\)

      \(=[図心軸に関する断面二次モーメント]+[面積]\times[(図心軸までの距離)^2]\)

で求めることができます。

     \(I_x=I_{nx}+A\times{y_0^2}\)

     \(I_y=I_{ny}+A\times{x_0^2}\)

上式から

1)図心軸に関する断面二次モーメントはゼロになりません。

2)図心軸に関する断面二次モーメントは、

  これと平行な他の軸に対する断面二次モーメントより、

  常に小さくなります(=図心軸の断面二次モーメントが最も小さい値になる)。

ということがわかります。

 
なぜ、断面一次モーメントのときのように
図心軸に関しての値がゼロにならないというと、
距離を2乗しているので、マイナス座標の値もプラスになり、
足し合わせたときに打ち消されなくなるためです。
 

断面二次モーメントは、部材の曲げに対する強さや

たわみを求めるときに必要なファクターです。

断面係数

断面の図心軸に関する断面二次モーメントを、

軸から断面の両縁までの距離で割った値を断面係数といいます。

断面係数は、曲げ応力度が最大となる縁応力度(ふちおうりょくど)

を求める際の係数として使われます。

単位は(\(mm^3\))です。

 

図_曲げモーメントを受ける断面

式で表すと、

 \([断面係数]\)\(=\Large{\frac{[図心軸に関する断面二次モーメント]}{[図心を通る軸から断面の端までの距離]}}\)

    \(Z_1=\Large{\frac{I_{nx}}{Y_1}}\)

    \(Z_2=\Large{\frac{I_{nx}}{Y_2}}\)

断面係数は、断面一次モーメント、断面二次モーメントのときのように

分割して求めて、あとで足し合わせることができません。

断面係数というものが、断面全体の図心軸に関する断面二次モーメントを求めてから、

縁までの距離で割って求めるものだからです。

【関連記事】<縁応力度とは

断面二次半径

断面二次半径は、座屈の計算をするときに用いられる定数です。単位は(\(mm\))です。

図心を通る軸からの距離を\(i\)として、

この位置での全断面\(A\)の二次モーメント(\(i^2\times{A}\))が

断面二次モーメント\(I\)と等しくなるとき、

この図心を通る軸からの距離\(i\)を断面二次半径といいます。

   \(I_x=i_x^2\times{A}\)

   \(I_y=i_y^2\times{A}\)

より、断面二次半径は

   \(i_x=\sqrt{\Large{\frac{I_x}{A}}}\)

   \(i_y=\sqrt{\Large{\frac{I_y}{A}}}\)

と表されます。

これは、図心を通る軸の断面二次モーメントを断面積で割って平方根に入れたものです。

弱軸に関する断面二次半径が、座屈の計算では重要になってきます。

座屈は、弱軸方向に起こるためです。

弱軸=断面二次モーメントが最も小さくなる図心軸のことです。

【関連記事】<強軸・弱軸とは(主軸とは)

まとめ

断面の性質が決まるファクター

\(E\):ヤング係数(=ヤング率)(\(N/mm^2\))

⇒材料の硬さを表します。

\(S\):断面一次モーメント(\(mm^3\))

⇒図心を求めるのに使用します。

\(I\):断面二次モーメント(\(mm^4\))

⇒断面形状の曲げ強さを表します。

\(Z\):断面係数(\(mm^3\))

⇒縁応力度を求めるときに使用する係数です。

\(A\):断面二次半径(\(mm\))

⇒座屈の計算をするときに使用します。

ヤング係数と断面二次モーメントを掛けたもの(=E×I)を曲げ剛性と呼ばれます。